coordenadas polares y graficas polares

 Coordenadas  polares

En un sistemas de coordenadas rectangulares el par ordenado(a, b)de nota el punto con abscisa a y ordenada b. las coordenadas polares son otra forma de representar puntos. Se comienza con un punto fijo  0( el  origen o polo)  y una semirrecta dirigida(el eje polar) cuyos extremos es 0. Luego se considera cualquier punto p del plano diferente de  0. R=d(0,p)y 0 denota la  medida   del Angulo determinado por el eje  polar y 0p, entonces ry0 son coordenadas polares de p  y se usa los simbolos8(r,0)o p(r,0)  para denotar   a p. como de costumbre 0  se considera positivo si el ángulo se genera por la ecuación de una recta coincidente con el eje polar, en el sentido  opuesto al del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido del reloj

 El ángulo  0 se mide en   radianes.

  Finalmente se adopta la convención de  que el polo  0  tiene   coordenadas  polares (0,0) para cualquier 0. Una asignación de pares ordenados de la forma (r,0) a los puntos de un plano se llama sistemas de coordenadas polares y se dice  que el plano es el plano r,0  las ecuaciones  de esta graficas  se andado en forma rectangular  o para métrica  en esta sección introduciremos un sistemas de coordenadas denominadas sistemas de coordenadas  polares

Para construir el sistemas de coordenadas en el plano fijamos un punto 0 o llamamos  polo(o el origen)  y tracemos de 0 un rayo inicial  llamado el eje polar  entonces se puede asignar en cada punto el plano unas coordenadas  polares(r,0)como sigue

R=distancia dirigida de 0  a  p

0= ángulo dirigido en sentido antihorario del eje polar al segmento  o  p

El  matemático  quien se atribuyo  el haber empleado por primera vez las coordenadas polares  fue  james bernnoulli, que los introdujo en 1691  no octante existe tanta cierta evidencia de  que Isaac newton  pudo haberlas utilizado con autoridad.las coordenadas rectangulares cada punto(x, y) tienen una representación única esto no ocurre en coordenadas polares

 Ejemplo

 Las coordenadas _(r,0) y (r,2PI + 0) representa un mismo punto asimismo como r es una distancia dirigidas las coordenadas(r,0) y (-r,0+PI) representa un mismo punto en general el punto(r,0) puede expresarse como

(r,0)es igual (r,0+2nPI)

(r,0)es igual (-r,0+(2n+1)PI)

Siendo n un entero  arbitrario además el polo está representado por(0,0) donde 0 es cualquier ángulo en algunos problemas es mas conveniente utilizar el punto mediante sus coordenadas polares las coordenadas polares dan su su posición relativa a un punto de referencia fijo( el polo) y un rayo dado el eje polar que parte de  0

Coordenadas polares-  comenzamos con un sistemas de coordenadas   x y y dado y después consideramos el origen como polo y el eje  x no negativo como el eje polar.
 
 Coordenada radial-  puede describirse como la distancia dirigida de  p desde el polo al lado terminal   el Angulo  0, asi  que r  es  positivo el punto   p se  encuentra en el mismo cuadrante  que  0m   mientras que   si r   es  negativo entonces   p se  encuentra en el cuadrante opuesto
 
 
Coordinad angular- si r= 0 no importa el Angulo de   0 , la coordenada   polar  (0,0) representa el origen sin importar el valor de al coordenada angular el origen o polo es el  único punto para cual r=0

Ejemplo:

Las coordenadas polares difieren de las coordenadas  rectangulares en que cualquier punto  tiene mas  de una representación en coordenadas polares ,por ejemplo, las coordenadas polares(r,0) y(-r,0+PI) representa al mismo punto p, mas en general este punto p  tiene la coordenadas polar(r,0Npi) para  cualquier entero para  n  y las coordenadas(-r,0n PI) para cualquier en tero impar n. así los pares de coordenadas polares.(2,PI/3),(-2,4PI/3),(2,7PI/3), Y (-2,-2pi/3)Algunas curvas tienen ecuaciones mas sencillas en coordenadas plares  que en rectangulares

Graficas de ecuaciones polares

Una ecuación polar es una ecuación en r y 0.una solución de una ecuación polar es un par ordenados (a, b) que lleva una igualdad  si se sustituye en la ecuación r por  a  y 0  por  b. la grafica de una ecuación polar es el conjunto de  todos los puntos( en  el plano)  que corresponda  a soluciones de la ecuación representar a mano la grafica de ecuaciones polares puede resultar complicadas  y tedioso la tecnología sin embargo alivia esta tarea  se  puede disponer    de un programa grafico en modo polar

Ejemplo

La grafica de  r igual ½ 0 para representar la grafica obtuvo  las ecuaciones  y no para métricas  x es  igual ½ 0  cos 0 y   y es igual ½  0 sen  0 e  asimos variar  0  de-4 pI  a 4PI esta curva  es de forma  r es igual a0, y recibe el nombre de espera de Arquímedes

Una forma de de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar  a coordenadas rectangulares y después dibujar la grafica de las ecuaciones  rectangular

A)   Resta    igual 2     b)0 es igual PI/3   c) r es igual sec 0

a)    La grafica de la ecuación polar r es igual 2 esta formada por todos los puntos  que editan 2 unidades del polo en otras  palabras la grafica es una  circunferencia de radio 2 centrada al origen podemos confirmarlo  usando la relación R2 =l  x2 + y2 para obtener la ecuación rectangular   x2 + y2 =22 ecuación rectangular

b)     La grafica de la ecus io polar 0 es igual PI/3 con tiene todos los puntos de la semirrecta radial  que forma un Angulo de PI/3 con el semieje  x positivo puedes  confirmarlo usando la Relación de tg  0 es igual  y /x para obtener la ecuación rectangular

c)    Grafica de ecuación  polar r es igual sec  0 no es evidente por simple inspección por lo que podemos empezar en convertirla en forma rectangular usando la relación r cos 0= x

Ala vista de la ecuación rectangular, reducimos que la grafica es una recta vertical. Comenzamos por escribir la ecuación en forma para métrica x = 2 cos 3 0 cos 0  e y =2 cos 3 0 sen 0 tras algunos en sayos encontramos  que la curva completa  que se llama curva rosa( o simplemente  rosa).

 Las graficas de una ecuación con las variables de coordenadas polares  r y 0 es el conjunto de  de todos los puntos  p tales  que p  tienen tienen algún par de coordenadas polares(r,0)  que satisface la ecuación dada podemos construir la grafica de  una ecuación r=f(0) construyendo una tabla de valores de  r  contra 0 y después  graficando los puntos  correspondientes(r,0) en papel de coordenadas  polares

Ejemplo 2

Una  razón de la importancia de las coordenadas  polares es  que  muchos problemas de las vida real están relacionadas con los círculos y de la ecuación coordenadas polares    ola ecuación polar del circulo cuyo centro es de (0,0) y cuyo radio es a

La verificación de  que la grafica r= 2  sen 0 es  el circulo indicado ilustra el procedimiento general para cambiar las coordenadas a rectangulares y viceversa para convertir las coordenadas  polares en relaciones , empleamos las relaciones básicas

X=r cos0, y = r sen 0 que obtenemos el triangulo  rectangular convertir en la dirección opuesta tenemos   r=x2+ y2 , tan 0=y/x  , si  x=0.

                                                   

 

BIBLIOGRAFIA

 swokowski earl.w                                                  

 calculo con geometria analitica

 larson R-E

calculo de geometria analitica

edwars y pennei                                                  

 

 http://images.google.com.mx/images?hl=es&um=1&ei=8PW8SrKMM5yetwfL5aiLAw&sa=X&oi=spell&resnum=0&ct=result&cd=1&q=graficas+de+ecuaciones+polares&spell=1&start=0

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

About these ads

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s


Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

A %d blogueros les gusta esto: